Решение игр графическим методом

если второй игрок с вероятностью 2/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 1/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 5/3.

Второй случай. Рассмотрим игру (2 ´ n) с матрицей

.

Для каждой из n стратегий игрока В строится соответствующий ей отрезок на плоскости. Находится нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наибольшему выигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока В, отрезки которых проходят через данную точку. Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока В. Игра сводится к игре с матрицей (2 ´ 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).

Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max (1,1) = 1, b = min (4, 3, 3,4) = 3, a ¹ b, .

Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. (см. рис.4)

Нижней границей выигрыша для игрока А является ломаная В3КВ4. Стратегии В3 и В4 являются активными стратегиями игрока В. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Второму игроку невыгодно применять стратегии В1 и В2, поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. у1 = у2= 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2 ´ 2)

.

a = max (1,1) = 1, b = min (3,4) = 3, a ¹ b, .

По формулам (1) - (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:

x1 = 2/5, x2 = 3/5; y3 = 3/5, y2 = 2/5; v =11/5.

Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (2/5, 3/5) и (0, 0, 3/5, 2/5), цена игры составляет v =11/5.

Данный ответ означает следующее:

если первый игрок с вероятностью 2/5 будет применять первую стратегию и с вероятностью 3/5 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 11/5;

если второй игрок с вероятностью 3/5 будет применять третью стратегию, с вероятностью 2/5 четвертую и не будет использовать первую и вторую стратегии, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 11/5.

Третий случай. Рассмотрим игру (m ´ 2) с матрицей

.

Решение игры может быть получено аналогично случаю два. Для каждой из m стратегий игрока А строится соответствующий ей отрезок на плоскости.

Находится верхняя граница проигрыша, получаемого игроком В, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наименьшему проигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока А, отрезки которых проходят через данную точку.

Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока А. Игра сводится к игре с матрицей (2 ´ 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).

Пример 3. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max (3, 2, 0, - 1) = 3, b = min (4,6) = 4, a ¹ b, . Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям первого игрока. (см. рис.5).

Верхней границей проигрыша для игрока В является ломаная А1КА4. Стратегии А1 и А4 являются активными стратегиями игрока А. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Первому игроку невыгодно применять стратегии А2 и А3, поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. x2 = x3= 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2 ´ 2)

Похожие статьи:

Требования к усвоению освоения и содержания курса
На первом же уроке учащимся предлагается записать, а в дальнейшем запомнить и соблюдать семь главных правил оригамистов. Семь главных правил юных оригамистов: 1. Готовь квадратики дома заранее. 2. Работай молча. 3. Хочешь спросить - подними руку. 4. Всегда держи фигурку так, как она нарисована на д ...

Конспект сюжетно-ролевой игры «Театр»
Программное содержание: 1. Продолжать учить выполнять роли, побуждать детей драматизировать сказку «Теремок». 2. Помочь детям выбрать тему игры, объединяя 2 сюжета, способствовать развитию сюжета игры. 3. Закреплять знания детей о профессиях, о культуре поведения. 4. Воспитывать положительное и доб ...

Место компьютера в начальной школе
Почему маленьким детям на уроке не всегда интересно? То устанут, то скука одолеет. Почему жизнь школы порой непохожа на цветной, яркий мир, который сопровождает ребенка в его общении с друзьями и книгами? Школа и школьная жизнь должна увлекать ребенка, вводя его в удивительный мир познания. Вот тут ...