Решение игр графическим методом

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Первый случай. Рассмотрим игру (2 ´ 2) с матрицей

без седловой точки. Решением игры являются смешанные стратегии игроков (x1, x2) и (y1, y2), где x1 - вероятность применения первым игроком первой стратегии, x2 - вероятность применения первым игроком второй стратегии, y1 - вероятность применения вторым игроком первой стратегии, y2 - вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что

x1 + x2 = 1, y1 + y2 = 1.

Найдем решение игры графическим методом. На оси ОX отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец (x = 0) соответствует стратегии первого игрока А1, правый (x = 1) - стратегии А2. Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям (x1, x2) первого игрока, где x1 =1 - x2. Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОX, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В1, то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А1 и А2 составит соответственно а11 и а21. Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В1В1. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этом отрезке. (см. рис.1)

В1 а21

М

В1

а11

х2 х11 Х

Рис.1. Подписать рисунок

Аналогично строится отрезок В2В2, соответствующий стратегии В2 игрока В.

Определение 1. Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, называется нижней границей выигрыша, получаемого игроком А.

Определение 2. Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, называются активными стратегиями.

В игре (2 ´ 2) обе стратегии являются активными.

В1 а21

В2

а12 К

В2 а22

В1

а11 v

О х2 N х1 1 Х

Рис.2.

Ломаная В1КВ2 является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка К, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что

x1 + x2 = 1, получим , , (1)

. (2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

y1 + y2 = 1,

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

. (3)

Пример 1. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max (1,1) = 1, b = min (3,2) = 2, a ¹ b, . Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. (см. рис.3)

Рис.3.

По формулам (1) - (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:

x1 = 1/3, x2 = 2/3; y1 = 2/3, y2 = 1/3; v =5/3.

Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (1/3, 2/3) и (2/3, 1/3), цена игры составляет v =5/3.

Данный ответ означает следующее:

если первый игрок с вероятностью 1/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 2/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 5/3;

Похожие статьи:

Возрастные особенности младшего школьника
Учащиеся начальных классов, то есть дети младшего школьного возраста, очень сильно отличаются друг от друга по успехам в учении - сосредоточенные и отвлекающиеся, быстросхватывающие и тугодумы. Они собрались из самых разных семей - более развитые и менее развитые, воспитанные и диковатые, заласканн ...

Особенности развития творческих способностей младших школьников в изостудии
Особенностью процесса формирования творческих способностей в системе дополнительного образования детей является то, что занятия предоставляются детям в их свободное время и развертывается на фоне свободного выбора, добровольного участия, избирательности учащимися своего образовательного пути, режим ...

Задержка психического развития
С точки зрения нарушения познавательной деятельности можно выделить следующие основные формы аномального психического развития: умственная отсталость – стойкие нарушения психического развития определенной качественной структуры. При умственной отсталости имеет место ведущая недостаточность познават ...