Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x1, x2, ., xm) и (y1, y2, ., yn). Применение первым игроком оптимальной стратегии опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения

Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(1)

где

, . (2)

По условию x1 + x2 + … +xm = 1.

Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (x1, x2, ., xm) игрока А должна максимизировать величину v, следовательно, функция

(3)

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (3) при ограничениях (1), причем на переменные наложено условие неотрицательности (2). Решая ее, находим значения , и величину 1/v, затем отыскиваются значения xi = vti.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока B, для которой имеют место ограничения

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

Похожие статьи:

Описание программного продукта
Данная программа представляет собой игровое поле из девяти клеточек. Каждая клетка это отдельная игра или ситуация, требующая выбор оптимальной стратегии (рис.7). Рис.7. Окно программы Прежде чем выбрать какое-нибудь поле, необходимо ознакомиться с условиями и требованиями. Для этого нужно нажать . ...

Координационные способности
Для того, что бы нам изучить методы диагностирования и развития координационных способностей, мы подробнее рассмотрим понятия о самой координации движений. Часто координацию движений строят на таком физическом качестве как ловкость. Ловкостью принято называть способность быстро, точно, целесообразн ...

Ключевые понятия концепции
Советская система образования - наряду с японской, американской, французской, английской, германской: каждая по своему - принадлежала к числу сильнейших образовательных систем мира. Это не означает, что у неё, как и у всех только что перечисленных, не было никаких недостатков. Главный из них: она б ...