Решение матричной игры в чистых стратегиях

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, в которой имеется два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий Аi, , а игрок В выбирает одну из возможных стратегий Вj, . Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно aij и - aij. Цель игрока А - максимизировать величину aij, а игрока В - минимизировать эту величину.

Определение 1. Матрица, составленная из величин aij, ,,

называется платежной матрицей, или матрицей игры. Каждый элемент платежной матрицы aij, ,равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию Аi, , а игрок В выбирал стратегию Вj, .

Пример. В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действия): А1 (записать 1), А2 (записать 2), А3 (записать 3); у второго игрока также три стратегии: В1, В2, В3 (табл.1).

Таблица 1

Задача первого игрока - максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока - минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока. Платежная матрица имеет вид

.

Задача каждого из игроков - найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию Аi, , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

.

Определение 2. Величина a - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия Aiопт, обеспечивающая получение выигрыша a, называется максиминной.

Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше a.

Похожие статьи:

Психолого-педагогическая характеристика детей с задержкой психического развития
Систематическое психологическое изучение детей с задержкой, психического развития началось сравнительно недавно. Внимание исследователей было сосредоточено преимущественно на изучении познавательной деятельности детей этой группы. Т.А.Власова, В.И. Лубовский, Н.А.Никашина дают следующую психолого-п ...

Лечебно-педагогическая работа при задержке психического развития
Проблема изучения и подготовки к обучению детей с ЗПР в течение последних двадцати лет интенсивно разрабатывалась сотрудниками института Коррекционной педагогики РАО (В.И.Лубовский, М.С.Певзнер, Н.А.Цыпина, Н.А.Никашина, Р.Д.Тригер, С.Г.Шевченко, Г.М.Капустина). На основании этих исследований были ...

Тенденции в специализации обучения
Все больше американских студентов, поступая учиться в университеты и колледжи, выбирают специальность, связанную с миром бизнеса и профессиональной карьерой. К концу 1980–81 учебного года эти тенденции наметились особенно ясно. За этот год были вручены дипломы по следующим специальностям: Шестьдеся ...